Question

（本題滿分12分）三棱錐中，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，且異面直線與的夾角為時，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）通過建立空間直角坐標系來分析，或者利用線面垂直平面，進而得到面面垂直。

（2）

【解析】

試題分析：證明：（Ⅰ）作平面于點，∵，

∴，即為的外心

又∵中，

故為邊的中點

所以平面

即證：平面平面．　�。�．．．．．．6分

（Ⅱ）∵中，，，∴

∵，且異面直線與的夾角為，

∴，∴為正三角形，可解得.

以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則

， ，，

，∴． …………………….9分

設平面的法向量為

，

由，  取

平面的法向量為

∴.

由圖可知，所求二面角為鈍角，其的余弦值為．    ……….12分

考點：本試題主要是考查了線線垂直的證明，以及二面角的求解知識。

點評：解決該類立體幾何問題，尤其是二面角的求解，通常情況下，都是建立空間直角坐標系，借助于法向量來求解二面角的方法。而對于面面垂直的證明，一般都是利用線面垂直為前提，結合面面垂直的判定定理得到，屬于中檔題。