Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3

2

，點(diǎn)E在側(cè)棱AA₁上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB₁上，D為線段CE上任意一點(diǎn)，且AE=2

2

，BF=

2

．
（I） 求證：C₁E⊥FD；
（Ⅱ） 若D為線段CE的中點(diǎn)，求二面角C₁-FD-E的余弦值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）欲證C₁E⊥平面CEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證C₁E與平面CEF內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)勾股定理可知EF⊥C₁E，C₁E⊥CE，又EF∩CE=E，滿足線面垂直的判定定理，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CF⊥C₁E；
（II）確定∠EDC₁為二面角C₁-FD-E的一個(gè)平面角，求出ED=

3

，C1E=

6

，C₁D=3，即可求二面角C₁-FD-E的余弦值的大�。�

解答： （I）證明：由已知可得CC₁=3

2

，CE=C₁F=2

3

，
EF²=AB²+（AE-BF）²，EF=C₁E=

6

，
于是有EF²+C₁E²=C₁F²，CE²+C₁E²=C₁C²，
∴EF⊥C₁E，C₁E⊥CE．又EF∩CE=E，
∴C₁E⊥平面CEF
由CF?平面CEF，
故C₁E⊥FD；
（Ⅱ）由題意易求EF=CF=

6

，
∵D為線段CE的中點(diǎn)，∴FD⊥ED，
又∵C₁E⊥FD，
∴FD⊥面C₁ED，∴FD⊥C₁D，
∴∠EDC₁為二面角C₁-FD-E的一個(gè)平面角．
在RT△C₁DE中，ED=

3

，C1E=

6

，∴C₁D=3，
∴cos∠EDC1=

3

3

，
∴二面角C₁-FD-E的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力．