Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，設(shè)常數(shù)，且對(duì)任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：∵b＜2-3＜0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，故考慮x∈（0，1]時(shí)，原不等式變?yōu)閨x-a|＜-，即x+＜a＜x-，
∴只需對(duì)x∈（0，1]滿足．
對(duì)（1）式，由b＜0時(shí)，在（0，1]上，f（x）=x+為增函數(shù)，
∴=f（1）=1+b
∴a＞1+b．（3）
對(duì)（2）式，①當(dāng)-1≤b＜0時(shí)，在（0，1]上，x-=x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=-，即x=時(shí)取等號(hào)）；
∴=2．
∴a＜2．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有，解得-1≤b＜-3+2．
∴當(dāng)-1≤b＜-3+2時(shí)，1+b＜a＜2．
②當(dāng)b＜-1時(shí)，在（0，1]上，f（x）=x-為減函數(shù)，
∴=f（1）=1+b，
∴當(dāng)b＜-1時(shí)，1+b＜a＜1-b．
綜上所述，當(dāng)-1≤b＜2-3時(shí)a的取值范圍是（1+b，2）；
當(dāng)b＜-1時(shí)，a的取值范圍是（1+b，1-b）．
分析：由于b＜0，于是當(dāng)x=0時(shí)f（x）＜0恒成立，此時(shí)a∈R；只需討論x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立即可，即即可．對(duì)（1）（2）兩式分別研究討論即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類(lèi)討論思想、方程思想的綜合應(yīng)用應(yīng)用，考查邏輯思維能力與運(yùn)算能力，屬于難題．