Question

已知函數f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對于任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（3）函數h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k，（k∈R），試判斷函數h（x）的零點個數？

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依題意，對任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x²-bsinx=x²+bsinx，
∴2bsinx=0對于任意實數x都成立，∴b=0
∴f（x）=x²-2．
（2）∵函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，∴g′（x）=2x+2+ （x＞0）
∵函數g（x）在（0，1）上單調遞減，
∴在區(qū)間（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上單調遞減
∴a≤-4．
（3）∵函數h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k═ln（1+x²）-x²+1-k，
∴h′（x）=
令h′（x）==0，解得x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值ln2+	單調遞減	極小值1	單調遞增	極大值ln2+	單調遞減

∴①當，函數沒有零點；
②當1＜k＜ln2+，函數有四個零點；
③當k=ln2+，函數有兩個零點；
④當k=1，函數有三個零點；
⑤當k＜1，函數有兩個零點；
分析：（1）先表示出F（x）的表達式，再根據對任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進而可確定函數f（x）的解析式；
（2）將（1）中求出的函數f（x）的解析式代入函數g（x）然后求導，將問題轉化為g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分離參數法，我們就可以求實數a的取值范圍；
（3）利用導數法，求出h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的極值，將k與極值進行比較，即可得到結論
點評：本題考查利用奇函數的性質求函數的解析式，考查了函數的零點以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．