Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2+(n-1)(

1

2

)n-1(n∈N*)，則存在數(shù)列{x_n}，{y_n}，使得：（　�。�

A．a(chǎn)_n=x_n+y_n，n∈N^*，其中{x_n}，{y_n}為等差數(shù)列

B．a(chǎn)_n=x_ny_n，n∈N^*，其中{x_n}，{y_n}為等比數(shù)列

C．a(chǎn)_n=x_n+y_n，n∈N^*，其中{x_n}為等差數(shù)列，{y_n}為等比數(shù)列

D．a(chǎn)_n=x_ny_n，n∈N^*，其中{x_n}為等差數(shù)列，{y_n}為等比數(shù)列

Answer 1

分析：由題意知a_n=S_n-S_n-1=[2+(n-1)(

1

2

)n-1]-[2+(n-2)(

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2

)n-2]，化簡(jiǎn)后觀察通項(xiàng)公式的構(gòu)造，結(jié)合等差等比數(shù)列的定義，即可得答案．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=[2+(n-1)(

1

2

)n-1]-[2+(n-2)(

1

2

)n-2]
=(n-1)(

1

2

)n-1-(n-2)(

1

2

)n-2
=(n-1)(

1

2

)n-1-(2n-4)(

1

2

)n-1
=(3-n)(

1

2

)n-1
令x_n=3-n，y_n=(

1

2

)n-1
則{x_n}為等差數(shù)列，{y_n}為等比數(shù)列
故a_n=x_ny_n，n∈N^*，其中{x_n}為等差數(shù)列，{y_n}為等比數(shù)列
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．