Question

如圖1-6，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，且BD=2，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）求點(diǎn)D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）通過證明AD⊥平面BDC，利用平面與平面垂直的判斷定理證明平面ADB⊥平面BDC；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的法向量，直接利用向量的數(shù)量積，求點(diǎn)D到平面ABC的距離．

解答：解：（1）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC．…（6分）
（2）由（1）知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，
AD是BC上的高，且BD=2，
則D（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2

3

），C（0，4，0）…（7分）
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x0，y0，z0)，
由

AB

=(2，0，-2

3

)，

BC

=(-2，4，0)，
有

BC • n =0 AB • n =0

，

2x0-2 3 z0=0 -2x0+4y0=0

，
取x0=2

3

，有

z0=2 y0= 3

，得

n

=(2

3

，

3

，2)，又

DB

=(2，0，0)…（10分）
點(diǎn)D到平面ABC的距離是d═|

DB • n

| n |

|=

4 57

19

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直平面與平面垂直的判斷，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．