Question

如圖，長方體中，為中點.

（1）求證：；

（2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由；

（3）若二面角的大小為，求的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）存在，且；（3）的長為.

【解析】

試題分析：（1）以為原點，、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，并設(shè)，利用空間向量法證明，從而達到證明；（2）設(shè)點，求出 平面，利用平面轉(zhuǎn)化為，利用向量坐標運算求出知，從而確定點的坐標，最終得到的長；（3）設(shè)，利用空間向量法求出二面角的余弦值的表達式，再結(jié)合二面角為這一條件求出的值，從而確定的長度.

試題解析：（1）以為原點，、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，，，，，

故，，，，

，；

（2）假設(shè)在棱上存在一點，使得平面，此時，

有設(shè)平面的法向量為，

平面，，，得，

取，得平面的一個法向量為，

要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，

又平面，

存在點，滿足平面，此時；

（3）連接、，由長方體及，得，

，，

由（1）知，，由，平面，

是平面的一個法向量，此時，

設(shè)與所成的角為，得，

二面角的大小為，

，解得，即的長為.

考點：1.直線與直線垂直；2.直線與平面平行的探索；3.利用空間向量法求二面角