Question

（2008•湖北模擬）已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有意義，f（

1

2

）=-1，且對任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若數(shù)列{xn}滿足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)，求f(xn）．
（3）求證：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

(n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)；
（2）1+x_n²≥2|x_n|得到：|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，即有|

2xn

1+ x 2 n

|＜1，進一步得出

f(xn+1)

f(xn)

=2，{f（x_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式
求得f（x_n）；
（3）用等比數(shù)列的求和公式可求

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

，由-2+

1

2n-1

是遞減數(shù)列，可得到證明．

解答：解：（1）令x=y=0，則2f（0）=f（0），即f（0）=0（1分）
又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0（3分）
即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（2）1+x_n²≥2|x_n|∴|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1
f（x₁）=f（

1

2

）=-1
而f（x_n+1）=f（

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+xnxn

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn）．（7分）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2（8分）
∴{f（x_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
故f（x_n）=-2^n-1（9分）
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

（11分）
∵-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

＞-2 (n∈N*）
又-

2n+3

n+1

=-2-

1

n+1

＜-2 (n∈N*）
故

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

 (n∈N*）（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的關系求解數(shù)列的項及通項公式，解題的關鍵是要根據(jù)函數(shù)關系合理的賦值，還考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式及數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最值的應用，綜合的知識較多．