Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），圓O的方程為x²+y²=7．
（1）求橢圓C的方程，并證明橢圓C在圓O內(nèi)；
（2）過(guò)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與圓O相交于點(diǎn)A，C，l₂與圓O相交于點(diǎn)B，D（如圖），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用離心率為

1

2

的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即可求橢圓C的方程；設(shè)P（x₀，y₀）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，到圓心的距離小于半徑即可知橢圓C在圓O內(nèi)
（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂．則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，AC=2

7-d12

，BD=2

7- d 2 2

，求出t=

d

2 1

+

d

2 2

的最小值，即可求得四邊形ABCD的面積的最大值．

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則c=

a2-b2

=1，

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
證明：設(shè)P（x₀，y₀）是橢圓C上的任意一點(diǎn)．
則1=

x02

4

+

y 2 0

3

≥

x 2 0

4

+

y 2 0

4

，

x

2 0

+

y

2 0

≤4＜7，故橢圓C在圓O內(nèi)

（2）如圖，設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂．
則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，AC=2

7-d12

，BD=2

7- d 2 2

由l₁⊥l₂，得t=

d

2 1

+

d

2 2

=OP2=

x

2 0

+

y

2 0

=

x

2 0

+3(1-

x 2 0

4

)=3+

x 2 0

4

，0≤

x

2 0

≤4．
則t∈[3，4]，四邊形ABCD的面積S=

1

2

AC×BD=2

7- d 2 1

7- d 2 2

≤(7-

d

2 1

)+(7-

d

2 2

)=14-t≤11
當(dāng)且僅當(dāng)

d

2 1

=

d

2 2

，t=3時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x0=0，y0=±

3

，

d

1

=d2=

6

2

，
即點(diǎn)P（x₀，y₀）為P(0，±

3

)．直線l₁，l₂的斜率分別為1，-1或-1，1．
所以四邊形ABCD的面積的最大值為11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的位置關(guān)系，考查圓內(nèi)接四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是利用基本不等式求解面積的最值，屬于中檔題．