【題目】如圖所示,在棱長為4的正方體中,點M是正方體表面上一動點,則下列說法正確的個數(shù)為(

①若點M在平面ABCD內(nèi)運動時總滿足,則點M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是圓的一部分;

②在平面ABCD內(nèi)作邊長為1的小正方形EFGA,點M滿足在平面ABCD內(nèi)運動,且到平面的距離等于到點F的距離,則M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是拋物線的一部分;

③已知點N是棱CD的中點,若點M在平面ABCD內(nèi)運動,且平面,則點M在平面內(nèi)的軌跡是線段;

④已知點P、Q分別是,的中點,點M為正方體表面上一點,若MPCQ垂直,則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

對于①,結(jié)合圓錐的性質(zhì),可判斷其正確;對于②,結(jié)合拋物線的定義,可知其正確;對于③,取AB的中點IBC的中點O,易證平面平面,可知當(dāng)M在線段IO上時,滿足題意;對于④,只需過點P作直線CQ的垂面即可,垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡,求出周長,即可判斷④正確.

對于①,因為滿足條件的動點M是以為軸線,以為母線的圓錐與平面ABCD的交線,即圓的一部分,故①是正確的;

對于②,依題意知點M到點F的距離與到直線AB的距離相等,所以M的軌跡是以F為焦點,AB為準(zhǔn)線的拋物線,故②是正確的;

對于,如圖(1),取AB的中點I,BC的中點O,顯然,,從而可以證明平面平面,當(dāng)M在線段IO上時,均有平面,即動點M的軌跡是線段IO,故是正確的;

對于④,如圖(2),依題意,只需過點P作直線CQ的垂面即可,垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡.分別取,的中點R,S,由,知,易知,又,,所以平面ABRS,過P作平面ABRS的平行平面,點M的軌跡為四邊形,其周長與四邊形ABRS的周長相等,所以點M所構(gòu)成的軌跡的周長為,故④是正確的.

因此說法正確的有4.

故選:D

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【題目】如圖所示,在棱長為4的正方體中,點M是正方體表面上一動點,則下列說法正確的個數(shù)為(

①若點M在平面ABCD內(nèi)運動時總滿足,則點M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是圓的一部分;

②在平面ABCD內(nèi)作邊長為1的小正方形EFGA,點M滿足在平面ABCD內(nèi)運動,且到平面的距離等于到點F的距離,則M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是拋物線的一部分;

③已知點N是棱CD的中點,若點M在平面ABCD內(nèi)運動,且平面,則點M在平面內(nèi)的軌跡是線段;

④已知點PQ分別是,的中點,點M為正方體表面上一點,若MPCQ垂直,則點M所構(gòu)成的軌跡的周長為.

A.1B.2C.3D.4

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