Question

函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出四個(gè)命題：
①c=0時(shí)，y=f（x）是奇函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）中心對(duì)稱；
③方程f（x）=0至多有兩個(gè)實(shí)根；
④b=0，c＞0時(shí)方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
上述命題中所有正確的命題的序號(hào)是________．

Answer 1

①②④
分析：①利用奇函數(shù)的定義證明即可；②利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的定義，可證明其為真命題，也可利用圖象變換說明；③利用舉反例的方法即可證明③錯(cuò)誤；利用數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)f（x）的圖象即可判斷④正確
解答：①c=0時(shí)，y=f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），∴c=0時(shí)，y=f（x）是奇函數(shù)，①正確；
②∵f（-x）+f（x）=（-x|x|-bx+c）+（x|x|+bx+c）=2c，∴y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）中心對(duì)稱；②正確；
③取b=-1，c=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故③錯(cuò)誤；
④b=0，c＞0時(shí)，f（x）=x|x|+c=，其圖象如圖
數(shù)形結(jié)合可得方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．④正確
故答案為①②④
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性定義及其判斷方法，函數(shù)中心對(duì)稱的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根間的關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法