Question

過點T（-1，0）作直線l與曲線N：y²=x交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E（x₀，0）使得△ABE是等邊三角形，若存在，求出x₀；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B的中點坐標(biāo)，得到AB的垂直平分線方程，求得E點的橫坐標(biāo)，由E到AB的距離相等列式求得k值，進一步得到x₀．

解答： 解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0．
設(shè)直線l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) y2=4x

，消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0  ①，
由直線和拋物線交于兩點，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞0，即0＜k²＜

1

4

  ②，
由韋達定理，得：x1+x2=

2k2-1

k2

，x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=

1

k

，
則線段AB的中點為（-

2k2-1

2k2

，

1

2k

）．
線段的垂直平分線方程為：y-

1

2k

=-

1

k

（x-

1-2k2

2k2

），
令y=0，得x0=

1

2k2

-

1

2

，則E（

1

2k2

-

1

2

，0），
∵△ABE為正三角形，
∴E（

1

2k2

-

1

2

，0）到直線AB的距離d為

3

2

|AB|．
又∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1-4k2

k2

1+k2

，d=

1+k2

2|k|

，
∴

3

2

•

1-4k2

k2

1+k2

=

1+k2

2|k|

，
解得：k=±

39

13

滿足②式．
此時x0=

5

3

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運用了“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．