Question

16．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1），且與直線l₁：y=-1相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程C；
（Ⅱ）過(guò)F（0，1）的直線m交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B作曲線C的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點(diǎn)M，求△MAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)P到F和P到直線y=-1的距離相等列方程得出軌跡方程；
（II）設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，和A，B的坐標(biāo)，用A，B的坐標(biāo)表示出切線方程，得出M點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算|AB|和M到直線AB的距離，得出面積關(guān)于k的表達(dá)式，從而得出面積的最小值．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），則|PF|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
P到直線y=-1的距離為d=|y+1|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=|y+1|，
整理得x²=4y，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡C方程為：x²=4y．
（II）設(shè)直線AB方程為：y=kx+1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$，
∴切線l₁方程為：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），切線l₂的方程為：y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），
聯(lián)立方程組可得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即M（2k，-1）．
∴|AB|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+2=4k²+4，
M到直線AB的距離d=$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$×（4k²+4）×$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4（1+k²）${\;}^{\frac{3}{2}}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，S_△MAB取得最小值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．