Question

已知函數(shù)，，其中且．

(Ⅰ)當，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若時，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對稱中心坐標；

（Ⅲ）設函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調(diào)增區(qū)間是，；(II) ;（III）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 為確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往遵循“求導數(shù)、求駐點、分區(qū)間討論導數(shù)的正負、確定函數(shù)的單調(diào)性”等步驟.

(Ⅱ) 為確定函數(shù)的極值，往往遵循“求導數(shù)、求駐點、分區(qū)間討論導數(shù)的正負、確定函數(shù)的極值”等步驟.

本小題根據(jù)函數(shù)有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據(jù)的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，

得到函數(shù)的圖象的對稱中心坐標.

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數(shù)，通過討論導函數(shù)為負數(shù)，得到的不等式，達到解題目的.

試題解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 當，，  1分

設，即，

所以，或，  2分

單調(diào)增區(qū)間是，；  4分

(Ⅱ)當時，函數(shù)有極值，

所以，  5分

且，即，  6分

所以，

的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，  7分

所以的圖象的對稱中心坐標為；  8分

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數(shù)，

設，

，

，  9分

設，

當在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，且．  10分

由（Ⅰ）知當時，的單調(diào)減區(qū)間是，

由得：，

解得：，  11分

當在上為減函數(shù)時，對于，即恒成立，

因為，

（1）當時，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

故，

即，或，故；  12分

（2）當時，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

故，則與題設矛盾；  13分

（3）當時，在上是減函數(shù)，

所以在上最大值為，

綜上所述，符合條件的a滿足．  14分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式的解法.