Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本生產(chǎn)成本）；銷(xiāo)售收入R（x）（萬(wàn)元）滿足：R(x)=

-0.4x2+4.2x-0.8    (0≤x≤5) 10.2                      (x＞5)

，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律．
（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？
（3）求贏利最多時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-總成本，列出解析式；要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5時(shí)和x＞5時(shí)分別求解即可；
（2）分別求出0≤x≤5時(shí)和x＞5時(shí)f（x）的最大值，取最大的即可．
（3）由（2）的結(jié)論直接求解．

解答：解：依題意，G（x）=x+2，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f（x），則
f（x）=R（x）-G（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8，(0≤x≤5) 8.2-x，(x＞5)

（1）要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0．
即x²-8x+7＜0．
∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）
當(dāng)x＞5時(shí)，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴5＜x＜8.2．
綜上，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1＜x＜8.2，
即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi)．（4分）
（2）0≤x≤5時(shí)，f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，
故當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值3.6．．（6分）
而當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）＜8.2-5=3.2所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)x=4時(shí)利潤(rùn)最高，此時(shí)售價(jià)為

R(4)

4

=2.4（萬(wàn)元/百臺(tái)）=240元/臺(tái)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)知識(shí)解決應(yīng)用題的有關(guān)知識(shí)．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，如何建模是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．同時(shí)要熟練地掌握分段函數(shù)的求最值問(wèn)題及解不等式問(wèn)題．