Question

已知f（x）=lg（x²-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）當m=0時，求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時不等式f（x）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當m=0時，f（x）=lg（x²-1），設t=x²-1，
當x∈（1，+∞）時，t=x²-1遞增，而當t＞0時，y=lgt遞增
所以f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞）…
（Ⅱ）因為函數f（x）的值域是[lg2，+∞），依題意得t=x²-mx+2m-1的最小值是2，
解得m=2或m=6…
（Ⅲ）法一：當x∈[0，1]時，將x²-mx+2m-2＞0分離變量后得到
令，則，
令g′（x）=0得…∴當時g′（x）＞0，當時g′（x）＜0
而時取得最大值，∴m＞…
法二：依題意得：x²-mx+2m-2＞0，令h（x）=x²-mx+2m-2，軸是
（1）當時，則有f（0）=2m-2＞0，解得m∈Φ；
（2）當時，則有△=m²-8m+8＞0，解得；
（3）當時，則有f（1）=m-1＞0，解得m＞2
綜上所求，實數m的取值范圍是（，+∞）
法三：將x²-mx+2m-2＞0移項得x²＞mx-2m+2，設，f₂（x）=mx-2m+2，
則f₁（x）、f₂（x）的圖象分別為右圖所示的一段拋物線和直線，要使對一切x∈[0，1]，f₁（x）＞f₂（x）恒成立，即要使得x∈[0，1]時，拋物線
段總在直線段的上方，因為直線恒過定點（2，2），可觀察
圖象得：直線的斜率必須大于相切時的斜率值，而相
切時的斜率可用判別式或導數易求得為，
所以．…
分析：（Ⅰ）利用復合函數的單調性去求函數的增區(qū)間．（Ⅱ）利用函數的值域是[lg2，+∞），確定m的數值．
（Ⅲ）不等式f（x）＞0恒成立，實質是求當x∈[0，1]時，函數f（x）的最值．
點評：本題考查了與對數函數有關的復合函數的性質，對應復合函數可以通過換元法來進行轉化．