Question

已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
（1）若存在x₀∈（-∞，0），使曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的斜率等于-4，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：f'（x）=x²-（a+1）x+b，由f'（0）=0，∴b=0，∴f'（x）=x²-（a+1）x．
（1）當(dāng)x₀＜0時(shí)，，
∴==-5，當(dāng)且僅當(dāng)，x₀＜0，解得x₀=-2時(shí)取等號(hào)；
∴a的取值范圍是（-∞，-5]．
（2）f'（x）=x²-（a+1）x．=x[x-（a+1）]，令f^′（x）=0，解得x=0，或a+1，
∵a＞0，∴a+1＞0，列表如下：
∴f（x）在（-∞，0]上遞增，在[0，a+1]上遞減，又在[a+1，+∞）上遞增，
而，f（0）=a＞0，，
又-a-1＜0＜a+1＜（a+2）²，
故f（x）在（-a-1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）²）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）共有3個(gè)零點(diǎn)．
分析：（1）由已知f'（0）=0，得出b=0，進(jìn)而求出函數(shù)f′（x）的表達(dá)式．再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得出，利用基本不等式即可求出a的取值范圍；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)=0，列出表格如表，利用極值、單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法即可判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和熟練掌握導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值與單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法是解題的關(guān)鍵．