Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

思路分析：本題充分把解析幾何問題與代數(shù)知識(shí)緊密結(jié)合,在解決該題的過程中無論哪種辦法都不可避免地要用到代數(shù)相關(guān)知識(shí),這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn).該題也可從兩個(gè)方面去考慮,利用橢圓參數(shù)方程與利用普通方程來考慮把問題解決.對(duì)于學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力也是一個(gè)考查,對(duì)于具體問題具體分析,從而解決問題.

解：由題設(shè),設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(a＞b＞0),∵e=,

∴a=2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,

則d²=x²+(y-)²=a²cos²θ+(bsinθ-)²=-3b²(sinθ+)²+4b²+3,

如果＞1,b＜,則當(dāng)sinθ=-1時(shí),d²有最大值,由題設(shè)有()²=(b+)²,b=-＞,與b＜相矛盾.因此必有≤1,于是當(dāng)sinθ=時(shí),d²有最大值,

由題設(shè)有()²=4b²+3,b=1,a=2,所以所求橢圓的參數(shù)方程是

消去參數(shù)θ得+y²=1.由sinθ=-,cosθ=得橢圓上的點(diǎn)(,-),(,-)到點(diǎn)P的距離都是.