Question

18．下列四個(gè)命題：
①“a²+b²=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0”，則a²+b²≠0”；
②已知曲線C的方程是kx²+（4-k）y²=1（k∈R），曲線C是橢圓的充要條件是0＜k＜4；
③“$m=\frac{1}{2}$”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件；
④已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則該雙曲線的離心率的值為$\sqrt{5}$．
上述命題中真命題的序號(hào)為③④．

Answer 1

分析 ①，“a²+b²=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0”，則a²+b²≠0”；
②，曲線kx²+（4-k）y²=1（k∈R）是橢圓的充要條件是0＜k＜4且k≠2；
③，當(dāng)直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直時(shí)，$m=\frac{1}{2}$或-2；
④，當(dāng)雙曲線的漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）時(shí)，則點(diǎn)（1，2）在漸近線y=$\frac{a}x$上，故$\frac{a}=2$，可得雙曲線的離心率；

解答 解：對(duì)于①，“a²+b²=0，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0”，則a²+b²≠0”，故錯(cuò)；
對(duì)于②，已知曲線C的方程是kx²+（4-k）y²=1（k∈R），曲線C是橢圓的充要條件是0＜k＜4且k≠2，故錯(cuò)；
對(duì)于③，∵當(dāng)直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直時(shí)，$m=\frac{1}{2}$或-2，故正確；
對(duì)于④，當(dāng)雙曲線的漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）時(shí)，則點(diǎn)（1，2）在漸近線y=$\frac{a}x$上，故$\frac{a}=2$，則該雙曲線的離心率的值為$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．故正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．