已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足
a
3
n
=4-(bn+2)
(n∈N*),數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Sn=
3
2
n2-
1
2
n
,數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=anbn
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)若cn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,再由{an}滿(mǎn)足
a
3
n
=4-(bn+2)
(n∈N*),求出數(shù)列{an}的
通項(xiàng)公式.
(2)先求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)先判斷數(shù)列{cn}的單調(diào)性,可得其最大值,要使cn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,只要數(shù)列{cn}的最大值小于或等于
1
4
m2+m-1
即可,由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)由已知得,當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=(
3
2
n2-
1
2
n)-(
3
2
(n-1)2-
1
2
(n-1))=3n-2
,
又b1=1=3×1-2,符合上式.故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=3n-2.
又∵
a
3
n
=4-(bn+2)
,
an=4-
(bn+2)
3
=4-
(3n-2)+2
3
=(
1
4
)n
,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(
1
4
)n

(2)cn=anbn=(3n-2)•(
1
4
)n
,
Tn=1×
1
4
+4×(
1
4
)
2
+7×(
1
4
)
3
+…+(3n-2)×(
1
4
)
n
①,
1
4
Tn=1×(
1
4
)
2
+4×(
1
4
)
3
+7×(
1
4
)
4
+…+(3n-5)×(
1
4
)
n
+(3n-2)×(
1
4
)
n+1
②,
①-②得 
3
4
Tn=
1
4
+3×[(
1
4
)
2
+(
1
4
)
3
+(
1
4
)
4
+…+(
1
4
)
n
]-(3n-2)×(
1
4
)
n+1

=
1
4
+3×
(
1
4
)
2
[1-(
1
4
)
n-1
]
1-
1
4
-(3n-2)×(
1
4
)n+1
=
1
2
-(3n+2)×(
1
4
)n+1
,
Tn=
2
3
-
12n+8
3
×(
1
4
)
n+1
2
3
-
3n+2
3
×(
1
4
)
n

(3)∵cn=(3n-2)•(
1
4
)n

cn+1-cn=(3n+1)•(
1
4
)n+1-(3n-2)•(
1
4
)n=(
1
4
)n•[
3n+1
4
-(3n-2)]
=-9•(
1
4
)n+1(n-1)
,
當(dāng)n=1時(shí),cn+1=cn;當(dāng)n≥2時(shí),cn+1≤cn,∴(cn)max=c1=c2=
1
4

cn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,則只要
1
4
m2+m-1≥
1
4
即可,(m+5)(m-1)≥0,
解得 m≤-5,或m≥1,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-5]∪[1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,用錯(cuò)位相減法、公式法進(jìn)行數(shù)列求和,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,
屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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