Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

=

9

10

，c=5，求△ABC的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

分析：把c的值代入已知的等式求出b的值，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式，表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，兩者相等，化簡(jiǎn)后得到a²+b²=c²，根據(jù)勾股定理的逆定理可得三角形ABC為直角三角形，由b和c的值，利用勾股定理求出a的值，然后利用周長(zhǎng)的一半即可求出三角形內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：∵c=5，

b+c

2c

=

9

10

，∴b=4，
又cos2

A

2

=

1+cosA

2

=

b+c

2c

，
∴cosA=

b

c

，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
則

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

，
∴b²+c²-a²=2b²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是以角C為直角的三角形，
根據(jù)勾股定理得a=

c2-b2

=3，
則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=

1

2

（a+b+c）=1．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦定理，以及勾股定理和逆定理，解此類(lèi)題往往根據(jù)定理及公式建立已知與未知之間的聯(lián)系，從而求出三角形中未知的量，達(dá)到解三角形的目的，化簡(jiǎn)已知的等式表示出cosA是本題的突破點(diǎn)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．