Question

為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y＝，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a、b值使y值最�。� 　　根據(jù)題設(shè)，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得b＝(0＜a＜30)． 　　于是y＝． 　　∵＝時(shí)， 　　a＝6或a＝－10(舍)，由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn)， 　　故a＝6，此時(shí)b＝3即為所求，即當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。� 　　解法二：依題意，即所求a、b值使ab最大． 　　由題設(shè)知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥，∴＋ab≤30， 　　當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)上式取等號(hào)． 　　由a＞0，b＞0．解得0＜ab≤18， 　　即當(dāng)a＝2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18，由2b2＝18． 　　解得b＝3，此時(shí)a＝6． 　　故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�