Question

1．如圖在△ABC中，D是AC邊上的點且AB=AD，2AB=$\sqrt{3}$BD，BC=2BD．則cosC的值（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 不妨設(shè)BD=2$\sqrt{3}$，則BC=4$\sqrt{3}$，AB=AD=3．在△ABD中，由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{3}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$，即可得出．

解答 解：不妨設(shè)BD=2$\sqrt{3}$，則BC=4$\sqrt{3}$，AB=AD=3．
在△ABD中，由余弦定理可得：cosA=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2×3×3}$=$\frac{1}{3}$，
∵B∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$，
可得：sinC=$\frac{3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．