16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$．
（1）求A的大��；
（2）若a=3，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

分析 （1）由正弦定理可得tanA=$\sqrt{3}$，即可求A的大小；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．化為a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（120°-C）+sinC]=6sin（C+30°）+3，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$，
∴由正弦定理可得tanA=$\sqrt{3}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=60°；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{a+b+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sinC}$=2$\sqrt{3}$，
∴a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（120°-C）+sinC]=6sin（C+30°）+3，
∵0＜C＜120°，
∴30°＜C+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（C+60°）≤1
∴△ABC的周長(zhǎng)∈（6，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．設(shè)命題p：曲線y=x2+2x+2t-4與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；命題q：方程$\frac{x^2}{4-t}$+$\frac{y^2}{t-2}$=1所表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸的橢圓．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+1}，x≥0}\\{-ln（1-x），x＜0}\end{array}}$，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

4．曲線f（x）=$\frac{1}{2}$x2+lnx的切線的斜率的最小值為2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量．
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{a}$+β$\overrightarrow$，其中m，n，α，β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點(diǎn)共線，求證：$\frac{α}{m}$+$\frac{β}{n}$=1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，L的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求L和C的普通方程；
（2）已知P（0，1），L與C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA||PB|的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

8．方程16x-17×22x+16=0的解是x=0，x=2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．若直線l的一般式方程為xsinθ-$\sqrt{3}$y+1=0（θ∈R），則直線l的傾斜角的取值范圍是$[0，\frac{π}{6}]∪[\frac{5π}{6}，π）$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

6．在n行n列矩陣$|\begin{array}{l}{1}&{2}&{3}&{…}&{n-2}&{n-1}&{n}\\{2}&{3}&{4}&{…}&{n-1}&{n}&{1}\\{3}&{4}&{5}&{…}&{n}&{1}&{2}\\{…}&{…}&{…}&{…}&{…}&{…}&{…}\\{n}&{1}&{2}&{…}&{n-3}&{n-2}&{n-1}\end{array}|$中，記位于第i行j列的數(shù)為aij（i，j=1，2，…，n），當(dāng)n=7時(shí)，表中所有滿足2i＜j的aij和為41．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案