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1.已知集合A={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1)},g(x)=sin(\frac{πx}{3})
(1)求證:g(x)∈A;
(2)g(x)是周期函數(shù),據(jù)此猜想A中的元素一定是周期函數(shù),判斷該猜想是否正確,并證明你的結(jié)論;
(3)g(x)是奇函數(shù),據(jù)此猜想A中的元素一定是奇函數(shù),判斷該猜想是否正確,并證明你的結(jié)論.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡g(x)+g(x+2),判斷與g(x+1)的關(guān)系即可;
(2)由f(x)+f(x+2)=f(x+1)可得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),兩式相減即可得出f(x+3)=-f(x),從而有f(x+6)=f(x),得出f(x)周期為6;
(3)以f(x)=cos(\frac{πx}{3})為例即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)證明:g(x)+g(x+2)=sin(\frac{πx}{3})+sin(\frac{πx}{3}+\frac{2π}{3}
=sin(\frac{πx}{3})-\frac{1}{2}sin(\frac{πx}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{πx}{3}
=\frac{1}{2}sin(\frac{πx}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{πx}{3})=sin(\frac{πx}{3}+\frac{π}{3})=sin(\frac{π(x+1)}{3})=g(x+1),
∴g(x)+g(x+2)=g(x+1),
∴g(x)∈A.
(2)A中的函數(shù)一定是周期函數(shù),證明如下:
∵f(x)+f(x+2)=f(x+1),
∴f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),f(x+1)-f(x)=f(x+2),
∴f(x+3)=-f(x),∴f(x-3+3)=-f(x-3),即f(x)=-f(x-3),
∴f(x+3)=f(x-3),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是以6為周期的函數(shù).
(3)A中的元素不一定是奇函數(shù),
f(x)=cos(\frac{π}{3}x),則f(x)+f(x+2)=cos(\frac{πx}{3})+cos(\frac{πx}{3}+\frac{2π}{3}
=cos(\frac{πx}{3})-\frac{1}{2}cos(\frac{πx}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{πx}{3}
=\frac{1}{2}cos(\frac{πx}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{πx}{3})=cos(\frac{πx}{3}+\frac{π}{3})=f(x+1).
∴f(x)=cos(\frac{π}{3}x)∈A,
而f(x)=cos(\frac{π}{3}x)是偶函數(shù),
故A中的元素不一定是奇函數(shù).

點評 本題考查了三角恒等變換,函數(shù)周期的判斷,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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x0.511.51.71.922.12.22.33457
y16108.348.18.0188.018.048.088.61011.615.14
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=2x+\frac{8}{x}(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減;函數(shù)f(x)=2x+\frac{8}{x}(x>0)在區(qū)間(2,+∞)上遞增.當x=2時,y最小=8.
(2)證明:函數(shù)f(x)=2x+\frac{8}{x}(x>0)在區(qū)間(0,2)遞減.
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