分析 (1)利用三角恒等變換化簡g(x)+g(x+2),判斷與g(x+1)的關(guān)系即可;
(2)由f(x)+f(x+2)=f(x+1)可得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),兩式相減即可得出f(x+3)=-f(x),從而有f(x+6)=f(x),得出f(x)周期為6;
(3)以f(x)=cos(\frac{πx}{3})為例即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)證明:g(x)+g(x+2)=sin(\frac{πx}{3})+sin(\frac{πx}{3}+\frac{2π}{3})
=sin(\frac{πx}{3})-\frac{1}{2}sin(\frac{πx}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{πx}{3})
=\frac{1}{2}sin(\frac{πx}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{πx}{3})=sin(\frac{πx}{3}+\frac{π}{3})=sin(\frac{π(x+1)}{3})=g(x+1),
∴g(x)+g(x+2)=g(x+1),
∴g(x)∈A.
(2)A中的函數(shù)一定是周期函數(shù),證明如下:
∵f(x)+f(x+2)=f(x+1),
∴f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),f(x+1)-f(x)=f(x+2),
∴f(x+3)=-f(x),∴f(x-3+3)=-f(x-3),即f(x)=-f(x-3),
∴f(x+3)=f(x-3),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是以6為周期的函數(shù).
(3)A中的元素不一定是奇函數(shù),
令f(x)=cos(\frac{π}{3}x),則f(x)+f(x+2)=cos(\frac{πx}{3})+cos(\frac{πx}{3}+\frac{2π}{3})
=cos(\frac{πx}{3})-\frac{1}{2}cos(\frac{πx}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{πx}{3})
=\frac{1}{2}cos(\frac{πx}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{πx}{3})=cos(\frac{πx}{3}+\frac{π}{3})=f(x+1).
∴f(x)=cos(\frac{π}{3}x)∈A,
而f(x)=cos(\frac{π}{3}x)是偶函數(shù),
故A中的元素不一定是奇函數(shù).
點評 本題考查了三角恒等變換,函數(shù)周期的判斷,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 16 | 10 | 8.34 | 8.1 | 8.01 | 8 | 8.01 | 8.04 | 8.08 | 8.6 | 10 | 11.6 | 15.14 | … |
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A. | 27 | B. | 28 | C. | 26 | D. | 29 |
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A. | 1+2i | B. | 1-2i | C. | 2+i | D. | 2-i |
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