精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,已知動直線l過點 ,且與圓O:x2+y2=1交于A、B兩點.
(1)若直線l的斜率為 ,求△OAB的面積;
(2)若直線l的斜率為0,點C是圓O上任意一點,求CA2+CB2的取值范圍;
(3)是否存在一個定點Q(不同于點P),對于任意不與y軸重合的直線l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:因為直線l的斜率為 ,所以直線l ,

則點O到直線l的距離

所以弦AB的長度 ,

所以


(2)解:因為直線l的斜率為0,所以可知

設點C(x,y),則x2+y2=1,

,

所以CA2+CB2=4﹣2y,又y∈[﹣1,1],

所以CA2+CB2的取值范圍是[2,6]


(3)解:法一:若存在,則根據對稱性可知,定點Q在y軸上,設Q(0,t)、又設A(x1,y1)、B(x2,y2),

因直線l不與y軸重合,設直線l

代入圓O得 ,

所以 (*)

若PQ平分∠AQB,則根據角平分線的定義,AQ與BQ的斜率互為相反數

,又 ,

化簡可得 ,

代入(*)式得 ,因為直線l任意,故

即t=2,即Q(0,2)

解法二:若存在,則根據對稱性可知,定點Q在y軸上,設Q(0,t)、又設A(x1,y1)、B(x2,y2),

因直線l不與y軸重合,設直線l

代入圓O得 ,

所以 (*)

若PQ平分∠AQB,則根據角平分線的幾何意義,點A到y軸的距離d1,點B到y軸的距離d2滿足 ,即

化簡可得 ,

代入(*)式得 ,因為直線l任意,故 ,

即t=2,即Q(0,2)


【解析】(1)因為直線l的斜率為 ,所以直線l ,利用弦長、半徑、弦心距的關系,求得弦長及△OAB的高,即可求出面積.(2)因為直線l的斜率為0,所以可知 、 ,設點C(x,y),則x2+y2=1,又 =4﹣2y,又y∈[﹣1,1],即可得CA2+CB2的取值范圍.(3)法一:若存在,則根據對稱性可知,定點Q在y軸上,設Q(0,t)、又設A(x1 , y1)、B(x2 , y2),因直線l不與y軸重合,設直線l ,代入圓O得 ,所以 (*)由AQ與BQ的斜率互為相反數,可得 ,即求得t;解法二:若PQ平分∠AQB,則根據角平分線的幾何意義,點A到y軸的距離d1 , 點B到y軸的距離d2滿足 ,即 ,化簡可得 ,同時求得t.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩所學校高三年級分別有1 200人,1 000人,為了了解兩所學校全體高三年級學生在該地區(qū)六校聯考的數學成績情況,采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了110名學生的數學成績,并作出了頻數分布統計表如下:

甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數

3

4

8

15

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數

15

x

3

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數

10

10

y

3

x,y的值分別為( )

(A)、12,7 (B)、 10,7 (C)、 10,8 (D)、 11,9

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設圓上的點A(2,3)關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上,且與直線x﹣y+1=0相交的弦長為2 ,求圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知如圖:平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點.
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱錐F﹣ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設f(x)=﹣ x3+ x2+2ax.
(1)當a=1時,求f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.
(2)若f (x)在( ,+∞)上存在單調遞增區(qū)間,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=aln x+ (a>0).

(1)求函數f(x)的極值;

(2)若對任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求實數a的取值范圍;

(3)是否存在實數a,使得函數f(x)[1,e]上的最小值為0?若存在,試求出a的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知三角形的頂點分別為A(﹣1,3),B(3,2),C(1,0)
(1)求BC邊上高的長度;
(2)若直線l過點C,且在l上不存在到A,B兩點的距離相等的點,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某學校為了解學校食堂的服務情況,隨機調查了50名就餐的教師和學生.根據這50名師生對餐廳服務質量進行評分,繪制出了頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組為[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)從評分在[40,60)的師生中,隨機抽取2人,求此人中恰好有1人評分在[40,50)上的概率;
(3)學校規(guī)定:師生對食堂服務質量的評分不得低于75分,否則將進行內部整頓,試用組中數據估計該校師生對食堂服務質量評分的平均分,并據此回答食堂是否需要進行內部整頓.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】將一顆質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次,記第一次出現的點數為x,第二次出現的點數為y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案