Question

若函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax-5）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值是（　　）

A．-4

B．4

C．4或-4

D．不存在

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax-5）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，知f（x）是偶函數(shù)，則 f（-x）=f（x），由此可求得a值，代入f（x），利用換元可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

解答：解：由函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax-5）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，知f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即（1-x²）（x²-ax-5）=（1-x²）（x²+ax-5），
整理得，2ax（x²-1）=0總成立，得a=0，
∴f（x）=（1-x²）（x²-5），
令x²=t（t≥0），則y=（1-t）（t-5）
=-t²+6t-5
=-（t-3）²+4，
∴當(dāng)t=3時(shí)，y有最大值4，即f（x）的最大值是4．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．正確理解圖象關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)的含義并能正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．