Question

已知函數f(x)=|1-|.

(1)是否存在a＜b且a、b∈［1,+∞),使得當函數f(x)的定義域為［a,b］時,值域為［,］?若存在,求出a、b的值;若不存在,請說明理由.

(2)若存在實數a、b(a＜b),使得函數f(x)的定義域為［a,b］,值域為［ma,mb］ (m≠0),求實數m的取值范圍.

Answer 1

思路解析：假設存在,則根據定義域可以化簡函數解析式,并可以判斷出函數的單調性,根據定義域和值域的對應關系求解(1);根據題設條件初步判斷字母的范圍,然后分類討論.

解：(1)若存在,則由于當a、b∈［1,+∞)時,f(x)=1-在［1,+∞)上單調遞增,則f(a)=a,f(b)=b,可知a、b是方程x²-8x+8=0的實根,求得a=4-2,b=4+2滿足條件.

(2)若存在,則易知m＞0,a＞0,

    當a、b∈(0,1)時,由于f(x)=-1在(0,1)上單調遞減,則可得f(a)=mb, f(b)=ma,則-1=mb,-1=ma,相減得=m(b-a),由于a≠b,則m=,所以-1=mb=-1=0,這是不可能的,故此時不存在實數a、b滿足條件.

    當a∈(0,1),b∈［1,+∞）時,顯然1∈［a,b］,而f(1)=0則0∈［ma,mb］,矛盾.故此時也不存在實數a、b滿足條件;

    當a,b∈［1,+∞）時,由于f(x)=1-在［1,+∞）上單調遞增,則f(a)=ma,f(b)=mb,則a、b是方程mx²-x+1=0的兩個大于1的實根,則由Δ＞0,＞1可得m的取值范圍是(0, ).