Question

4．已知△ABC的內角A，B滿足$\frac{sinB}{sinA}$=cos（A+B），則tanB的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先確定出C為鈍角，利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡已知等式的左邊，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，得到tanC=-2tanA，化簡tanB=-tan（A+C）為$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，利用基本不等式求出tanB的最大值．

解答 解：∵△ABC的內角A，B滿足$\frac{sinB}{sinA}$=cos（A+B），且sinA＞0，sinB＞0，
∴$\frac{sinB}{sinA}$=-cosC＞0，即cosC＜0，∴C為鈍角，sinB=-sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-sinAcosC，即cosAsinC=-2sinAcosC，
∴tanC=-2tanA，∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$
=-$\frac{-tanA}{1+{2tan}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當且僅當$\frac{1}{tanA}$=2tanA時，取等號，故tanB的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握基本關系及公式是解本題的關鍵，本題考察了轉化思想，屬于中檔題．