已知橢
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，短軸的一個端點為（0，1），直線l：y=kx-
1
3
與橢圓相交于不同的兩點A、B．
（1）若|AB|=
4
26
9
，求k的值；
（2）求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M．
考點：直線與圓錐曲線的關系
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，短軸的一個端點為（0，1），可得
c
a
=
2
2
，b=1，又
a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可得到橢圓的方程．利用根與系數(shù)的關系及其弦長公式即可得出．
（2）取k=0時，解得A(-
4
3
，-
1
3
)，B(
4
3
，-
1
3
)．可得以線段AB為直徑的圓的方程為x2+(y+
1
3
)2=
16
9
．
可知：此圓過點（0，1）．猜想以AB為直徑的圓恒過點M（0，1）．利用數(shù)量積運算性質只有證明
MA
•
MB
=0即可．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，短軸的一個端點為（0，1），
∴
c
a
=
2
2
，b=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得b=1=c，a=
2
．
∴橢圓的方程為：
x2
2
+y2=1．
聯(lián)立
y=kx-
1
3
x2+2y2=2
，化為（9+18k2）x2-12kx-16=0，
△＞0，
x1+x2=
12k
9+18k2
，x1x2=
-16
9+18k2
．
∵|AB|=
4
26
9
，
∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[
144k2
(9+18k2)2
+
64
9+18k2
]
=
4
26
9
，
化為23k4-13k2-10=0，解得k=±1．
（2）取k=0時，解得A(-
4
3
，-
1
3
)，B(
4
3
，-
1
3
)．
可得以線段AB為直徑的圓的方程為x2+(y+
1
3
)2=
16
9
．
可知：此圓過點（0，1）．猜想以AB為直徑的圓恒過點M（0，1）．
下面給出證明：∵
MA
•
MB
=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）
=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=x1x2+(kx1-
4
3
)(kx2-
4
3
)
=（1+k2）x1x2-
4k
3
(x1+x2)+
16
9

=
-16(1+k2)
9+18k2
-
16k2
9+18k2
+
16
9

=0，
∴
MA
⊥
MB
，
因此以AB為直徑的圓恒過點M（0，1）．
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系及弦長公式、數(shù)量積運算性質與向量垂直的關系，考查了猜想能力與推理能力、計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：點P在直線y=2x-3上；命題q：點P在直線y=-3x+2上，則使命題“p且q”為真命題的一個點P（x，y）是（　�。�
A、（0，-3）
B、（1，2）
C、（1，-1）
D、（-1，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)
3-3i
1-i
（i是虛數(shù)單位）的實部和虛部的和是（　�。�
A、4B、6C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，則∁UM=（　　）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：cos
4π
3
+sin
5π
2
tan
13π
4
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-lnx
x
（a∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=-1的圖象在區(qū)間（0，e]上有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

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平面上兩點F1，F(xiàn)2滿足|F1F2|=10．設d為實數(shù)，令Γ表示平面上滿足||PF1|-|PF2||=d的所有P點所成的圖形．又令圓C為平面上以F1為圓心，9為半徑的圓．給出下列選項：
①當d=0時，Γ為直線；
②當d=1時，Γ為雙曲線；
③當d=6時，Γ9與C有兩個公共點；
④當d=8時，Γ與C有三個公共點；
⑤當d=10時，Γ與C有兩個公共點．
其中是真命題的有：
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于曲線C：
|x|
5
+
|y|
4
=1，下列四個命題中，所有真命題的組合是（　�。�
①曲線C上的橫、縱坐標的取值范圍分別是-5≤x≤5，-4≤y≤4；
②曲線C關于x軸、y軸都是對稱的，還關于原點對稱；
③設P，Q是曲線C上的任意兩點，則|PQ|≤10恒成立；
④設M（-3，0），N（3，0），P是曲線C上任意的點，則|PM|+|PN|≤10恒成立．
A、①②③④B、①②③
C、①②④D、①②

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=3i-4j，
OB
=6i-3j，
OC
=（5-m）i-（3+m）j，其中i，j分別是平面直角坐標系內x軸與y軸正方向上的單位向量．
（1）若點A，B，C能構成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件；
（2）對任意m∈[1，2]，不等式
AC
2≤-x2+x+3恒成立，求x的取值范圍．

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