Question

15．求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共焦點，且過點（3$\sqrt{2}$，2）的雙曲線；
（2）以橢圓3x²+13y²=39的焦點為焦點，以直線y=±$\frac{x}{2}$為漸近線的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的焦點，可設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{20-{a}^{2}}$=1（20-a²＞0），將點（3$\sqrt{2}$，2）代入雙曲線方程，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．
（2）利用橢圓的方程求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，設(shè)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），根據(jù)雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x求出a²，可得答案．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點為（±2$\sqrt{5}$，0），
∴設(shè)所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{20-{a}^{2}}$=1（20-a²＞0）
又點（3$\sqrt{2}$，2）在雙曲線上，
∴$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{20-{a}^{2}}$=1，解得a²=12或30（舍去），
∴所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
（2）橢圓3x²+13y²=39可化為$\frac{{x}^{2}}{13}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其焦點坐標(biāo)為（±$\sqrt{10}$，0），∴所求雙曲線的焦點為（±$\sqrt{10}$，0），
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{10-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴a²=8，b²=2，
即所求的雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，考查橢圓的性質(zhì)，注意運用待定系數(shù)法，點滿足方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．