考點:數列的求和
專題:等差數列與等比數列
分析:(1)分別令n=2、3代入式子求出求a
2、a
3,再變形得
-=1得到等差數列,求出通項公式即可求出S
n,再利用S
n與a
n的關系式求出a
n;
(2)由(1)求出b
n并裂項,利用裂項相消法求出數列{b
n}的前項和T
n,代入λT
n<n+8×(-1)
n化簡,根據(-1)
n分類討論,并分別利用基本不等式、數列的單調性求出式子的最小值,再求出λ的范圍.
解答:
解:(1)∵a
1=1,
=+1,且a
n>0,
令n=2得,
=+1,解得a
3=3,
令n=3代入解得,a
5=5,
由題意可得
-=1,
∴數列{
}是以1為首項和公差的等差數列,
∴
=1+(n-1)×1=n,則
Sn=n2,
當n>1時,
an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
當n=1時,也適合上式,
故a
n=2n-1 …6分
(2)由(1)得,
bn==
=
(-)∴
Tn=(1-+-+…+-)=
(1-)=
由題意得,對任意的n∈N
*,不等式λT
n<n+8×(-1)
n恒成立,
①當n為偶數時,則
λ<對任意的n∈N
*恒成立,
∵
=
2n++17≥2+17=25,
當且僅當
2n=時,即n=2時取等號,
此時λ滿足λ<25,
②當n為偶數時,則
λ<對任意的n∈N
*恒成立,
,∵
=
2n--15,且
2n-隨著n的增大而增大,
當n=1時,
2n-取最小值是-6,
此時λ滿足λ<-21,
綜上得,實數λ的取值范圍是λ<-21.
點評:本題考查了數列的前項和Sn與通項an的關系式,裂項相消法求數列的和,基本不等式求最值,以及恒成立問題轉化為求最值問題,考查了分類討論思想、轉化思想.