Question

11．如圖，某房子屋檐A點(diǎn)離地面15米．房子上另一點(diǎn)B離地面9米，而且A，B兩點(diǎn)在同一鉛垂線上，在離地面7米的C處看此房子，問水平距離離此房子多遠(yuǎn)時(shí)A，B的視角（∠ACB）最大？

Answer 1

分析 設(shè)C處離此房子x米時(shí)看A，B的視角（即∠ACB）最大，過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn)由圖可知 AD=8，BD=2，CD=x，進(jìn)而表示出tan∠BCD與tan∠ACD，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式表示出tan∠ACB，利用基本不等式求出視角最大時(shí)x的值即可．

解答 解：設(shè)C處離此房子x米時(shí)看A，B的視角（即∠ACB）最大．
過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn)由圖可知 AD=8，BD=2，CD=x    …（3分）
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{8}{x}$
在Rt△BCD中，tan∠BCD=$\frac{2}{x}$
∴tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=$\frac{\frac{8}{x}-\frac{2}{x}}{1+\frac{8}{x}•\frac{2}{x}}$=$\frac{6}{x+\frac{16}{x}}$≤$\frac{3}{4}$   …（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{16}{x}$，即x=4時(shí)取等號     …（10分）
∴水平距離離房子4米時(shí)，視角最大．       …（12分）

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．