Question

11．在直角坐標系xOy中，圓C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是參數），圓C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是參數），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（I）求圓C₁，圓C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）射線θ=α（ 0≤α＜2π）同時與圓C₁交于O，M兩點，與圓C₂交于O，N兩點，求|OM|+|ON|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數基本關系式的平方關系可把圓的參數方程化為普通方程，再利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程．
（Ⅱ）θ=α時，極坐標$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α），利用和差公式及其三角函數的性質即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由圓C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是參數），圓C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是參數），
可得：圓${C_1}：{（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$，圓${C_2}：{x^2}+{（y-1）^2}=1$．
分別可得極坐標方程：圓${C_1}：ρ=2\sqrt{3}cosθ$，圓C₂：ρ=2sinθ．
（Ⅱ）θ=α時，極坐標$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α）．
∴$|{OM}|+|{ON}|=2\sqrt{3}cosα+2sinα$=$4sin（α+\frac{π}{3}）$，
∵$\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，∴當$α+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}，α=\frac{π}{6}$時，|OM|+|ON|取得最大值為4．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數方程化為普通方程、直線與圓相交弦長、和差公式、三角函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．