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3.設(shè)函數(shù)f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π4,π6]上的最大值和最小值.

分析 (Ⅰ)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.
(Ⅱ)利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π4,π6]上的最值.

解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ab=(2cosx,1)•(cosx,3sin2x)=2cos2x+3sin2x
=cos2x+3sin2x+1=2sin(2x+π6)+1,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π2=π.
令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,求得kπ-π3≤x≤kπ+π6,可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.
(Ⅱ)在區(qū)間[-π4,π6]上,2x+π6∈[-π3,π2],sin(2x+π6)∈[-32,1],f(x)∈[1-3,3],
即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π4π6]上的最大值為3,最小值為1-3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性、定義域和值域,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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13.某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,其中成績(jī)分組區(qū)間如下:
組號(hào)第一組第二組第三組第四組第五組
分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,若將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?

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14.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+b|(a>0,b>0).
(Ⅰ)若a=1,b=2,解不等式f(x)≤5;
(Ⅱ)若f(x)的最小值為3,求\frac{{a}^{2}}+2a的最小值.

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11.已知向量a與向量b滿足|a|=3,|b|=2,|2a+b|=213,則ab的夾角為( �。�
A.π6B.π4C.π3D.2π3

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18.已知a=(sin(x+π3),sin(x-π6)),b=(cos(x-π6),cos(x+π3)),ab=513,且x∈[-π3,π6],則sin2x的值為( �。�
A.53+1226B.531226C.5+12326D.512326

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8.\root{3}{(lg50-1)^{3}}-lg212=( �。�
A.2lg5B.0C.-1D.-2lg5

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2.\frac{2sin20°tan70°-2sin40°}{sin35°}=\sqrt{6}-\sqrt{2}

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19.已知F1、F2是雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該雙曲線上的任意一點(diǎn),若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,則r的取值范圍是( �。�
A.(0,a)B.(0,b)C.(0,\sqrt{{a}^{2}+^{2}}D.(0,\sqrt{ab}

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20.已知雙曲線\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,e為雙曲線的離心率,P是雙曲線右支上的點(diǎn),△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,過F2作直線PI的垂線,垂足為B,則OB=a.

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