Question

【題目】已知函數u（x）=）

（Ⅰ）若曲線u（x）與直線y=0相切，求a的值．

（Ⅱ）若e+1＜a＜2e，設f（x）=|u（x）|﹣，求證：f（x）有兩個不同的零點x1，x2，且|x2﹣x1|＜e．（e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1） ； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）設出切點坐標，求出函數的導數，根據斜率是0，求出a的值即可；

（Ⅱ）求出必存在x0∈（e，2e），使得u（x0）=0，即=lnx0，通過討論x的范圍，求出函數的零點的范圍，從而證明結論即可．

（Ⅰ）設切點

又切點在函數上，即

（Ⅱ）證明:不妨設， ，所以在上單調遞減，

又，

所以必存在，使得，即

.

①當時，，

所以在區(qū)間上單調遞減，

注意到，

所以函數在區(qū)間上存在零點，且. …… 10分

②當時, 所以在區(qū)間上單調遞增，

又，

且，

所以在區(qū)間上必存在零點，且.

綜上，有兩個不同的零點、，且.