Question

圓x²+y²+x-6y+3=0上兩點P、Q滿足 ①關(guān)于直線kx-y+4=0對稱，②OP⊥OQ．
（1）求k值；　　　　　　　　　
（2）求直線PQ的方程．

Answer 1

解：（1）曲線x²+y²+x-6y+3=0可變?yōu)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54650.png' />
得到圓心（-，3），半徑為；
因為圓上有兩點P、Q關(guān)于直線對稱，得到圓心在直線上，
把（-，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2
（2）直線PQ的斜率==-；設(shè)PQ方程為
聯(lián)立得，代入整理得
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴
∴
∴
所以直線PQ的方程為：或，經(jīng)驗證符合題意．
分析：（1）因為曲線方程為圓的方程，圓上的P與Q關(guān)于直線對稱得到直線過圓心，把圓心坐標代入即可求出k；
（2）又因為PQ⊥直線kx-y+4=0得到直線PQ的斜率為，然后聯(lián)立直線與圓的方程，利用OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0，再借助于韋達定理，即可寫出直線的方程．
點評：本題的考點是關(guān)于點、直線對稱的圓的方程，主要考查考查學生理解圓的對稱軸為過直徑的直線，會根據(jù)兩直線垂直得到斜率乘積為-1，會根據(jù)條件寫出直線的一般式方程．注意條件的等價轉(zhuǎn)化．