Question

2．已知梯形ABCD的上底AD長為1，下底BC長為4，對角線AC長為4，BD長為3，則梯形ABCD的腰AB長為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 已知梯形ABCD中AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，過點A作AE平行于BD交CB延長線于E，則AEBD為平行四邊形，所以EC=EB+BC=AD+BC=5，又AE=3，AC=4，可得△AEC為Rt△，設∠EBA=α，在△ABE中由余弦定理建立關系式，在△ABD中由余弦定理建立關系式，可求腰AB的長．

解答 解：已知梯形ABCD中AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，過點B作BE平行于AC交AE延長線于E，則AEBC為平行四邊形，∴ED=EA+BC=AD+BC=5，又BD=3，AC=4，∴△DEC為Rt△，∠EBD=90°（如圖）
設∠EBA=α，
在△ABE中由余弦定理：可得：$\frac{A{B}^{2}+16-16}{8AB}=cosα$．
∴AB=8cosα…①
在△ABD中由余弦定理：
$cos（90°-α）=\frac{A{B}^{2}+9-1}{6AB}$，
sinα=$\frac{A{B}^{2}+8}{6AB}$…②
sin²α+cos²α=1…③
由①②③解得：AB=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$
故答案為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了余弦定理的靈活運用能力和計算能力．屬于中檔題．