Question

12．設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R．
（1）當a=0時，求證：f（x）＜x，對任意的x∈（0，+∞）成立；
（2）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；
（3）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表達式，令g（x）=ln（x+1）-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＜g（0）=0，從而證出結論；
（2）求出f（x）的導數(shù)，令g（x）=2ax²+ax-a+1，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值的個數(shù)；
（3）通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調(diào)性求出滿足題意的a的范圍即可．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=ln（x+1），定義域是（-1，+∞），
令g（x）=ln（x+1）-x，g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{x+1}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，
故f（x）＜x，對任意的x∈（0，+∞）成立；
（2）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．
f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+ax-a+1}{x+1}$，
令g（x）=2ax²+ax-a+1．
（i）當a=0時，g（x）=1，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點．
（ii）當a＞0時，△=a²-8a（1-a）=a（9a-8）．
①當0＜a≤$\frac{8}{9}$時，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點．
②當a＞$\frac{8}{9}$時，△＞0，設方程2ax²+ax-a+1=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，x₁＜x₂．
∵x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁＜-$\frac{1}{4}$，x₂＞-$\frac{1}{4}$．
由g（-1）＞0，可得-1＜x₁＜-$\frac{1}{4}$，
∴當x∈（-1，x₁）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此函數(shù)f（x）有兩個極值點．
（iii）當a＜0時，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得x1＜-1＜x2．
∴當x∈（-1，x₂）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（x₂，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此函數(shù)f（x）有一個極值點．
綜上所述：當a＜0時，函數(shù)f（x）有一個極值點； 
當0≤a≤$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）無極值點； 
當a＞$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）有兩個極值點． 
（3）由（2）可知：
①當0≤a≤$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．
②當 $\frac{8}{9}$＜a≤1時，由g（0）≥0，可得x₂≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．
③當1＜a時，由g（0）＜0，可得x₂＞0，
∴x∈（0，x₂）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x₂）時，f（x）＜0，不符合題意，舍去；
④當a＜0時，設h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=$\frac{x}{x+1}$＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因此x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x²-x）=ax²+（1-a）x，
當x＞1-$\frac{1}{a}$時，
ax²+（1-a）x＜0，此時f（x）＜0，不合題意，舍去．
綜上所述，a的取值范圍為[0，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．