Question

某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有8人．

（1）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數；
（2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）；3（2）詳見解析

試題分析：（1）頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示概率，概率和為1，則可求得。因為甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有8人，根據公式可求得甲班學生總數，再根據可得甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數。（2）乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生仍用公式可求得為4人。的可能取值為0、1、2、3.根據古典概型概率公式可得各取值時的概率，從而可得其分布列，再根據期望公式可求其期望值。
解：⑴ 由直方圖知，，解得，
因為甲班學習時間在區(qū)間的有8人，
所以甲班的學生人數為，
所以甲、乙兩班人數均為40人．所以甲班學習時間在區(qū)間的人數為（人）．
⑵ 乙班學習時間在區(qū)間的人數為（人）．
由⑴知甲班學習時間在區(qū)間的人數為3人，
在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，的所有可能取值為0，1，2，3．
，
，
，
．
所以隨機變量的分布列為：

．