Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁，CD的中點(diǎn)，求證：平面ADE⊥平面A₁FD₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知得AD⊥平面DCC₁D₁，從而AD⊥D₁F，取AB中點(diǎn)G，由已知條件推導(dǎo)出A₁G⊥AE，從而D₁F⊥AE，進(jìn)而D₁F⊥平面ADE，由此能證明平面A₁FD₁⊥平面ADE．

解答： 證明：因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
所以AD⊥平面DCC₁D₁，
又D₁F?平面DCC₁D₁，所以AD⊥D₁F，
取AB中點(diǎn)G，
連接A₁G、FG，因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，
所以FG

∥ .

.

AD

∥ .

.

A₁D₁，所以A₁G∥D₁F，
因?yàn)镋是BB₁中點(diǎn)，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
所以∠AA₁G=∠HAG，∠AHA₁=90°，
即A₁G⊥AE，所以D₁F⊥AE，因?yàn)锳D∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE，
所以D₁F?平面A₁FD₁，
所以平面A₁FD₁⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．