Question

已知橢圓的離心率為，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且F₂到橢圓C的右準(zhǔn)線l的距離為1，點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF₂交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面積S的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)F₂到橢圓C的右準(zhǔn)線l的距離為1和a²=b²+c²求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線PF₂的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），根據(jù)偉大定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出|AB|和點(diǎn)F₁到直線PF₂的距離，進(jìn)而可得△F₁AB的面積S的表達(dá)式，根據(jù)m確定S的取值范圍．
（3）根據(jù)，，可求得λ和μ的表達(dá)式，進(jìn)而把x₁+x₂和x₁x₂代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得證．
解答：解：
（Ⅰ）由題意得，
解得，b=1，c=1，
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）因?yàn)橛覝?zhǔn)線l的方程為，
所以可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），由（Ⅰ）知焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別（-1，0），（1，0），
所以直線PF₂的方程為y=m（x-1）．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是，．
所以．
點(diǎn)F₁到直線PF₂的距離，
所以△F₁AB的面積，，
由題知m∈R且m≠0，于是，
故△F₁AB的面積S的取值范圍是．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是，，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221636865687398/SYS201311012216368656873018_DA/20.png">，
所以λ+μ=0，即λ+μ為定值0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系時(shí)，常需要把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，根據(jù)偉大定理找到解決問題的途徑．