Question

定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f（x），對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數(shù)．--------------（4分）
（2）解：f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，又由（1）知f（x）是奇函數(shù)．
∵f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2，
∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3^x＞0，問題等價于t²-（1+k）t+2＞0對任意t＞0恒成立．--------------------（6分）
令g（t）=t²-（1+k）t+2，其對稱軸為
當，即k＜-1時，f（0）＞2，符合題意；
當，即k≥-1時，則△=（1+k）²-4×2＜0，∴
綜上，--------------------------（12分）
分析：（1）根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分別令x=y=0，y=-x，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且是奇函數(shù)，將f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為3^2x-（1+k）•3^x+2＞0對任意x∈R成立，進而可利用換元法及分類討論的思想，即可求得實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，有綜合性．