Question

已知a∈R，解不等式

x

x-1

＞a+1．

Answer 1

原不等式化為

-ax+(a+1)

x-1

＞0①
（1）當(dāng)a=0時，原不等式為

-1

x-1

＜0?x＞1．
在①中，分子中x的系數(shù)含有字母a，分類討論就從這里引起．
（2）當(dāng)a≠0時，原不等式化為

a(x- a+1 a )

x-1

＜0．     ②
對于不等式②，分子中的系數(shù)a不能隨意約去，因為根據(jù)不等式的性質(zhì)，若給不等式兩邊同時乘以一個負(fù)數(shù)，不等式的方向要改變．
當(dāng)a＞0時，原不等式等價于

x- a+1 a

x-1

＜0．
由于

a+1

a

＞1，可解得1＜x＜

a+1

a

．也可先確定兩根x₁，x₂ （x₁＜x₂），
然后直接寫出解集．
當(dāng)a＜0時，

a(x- a+1 a )

x-1

＜0等價于

x- a+1 a

x-1

＞0．
由

a+1

a

=1+

1

a

＜1可解得x＜

a+1

a

或x＞1．
綜上，當(dāng)a=0時原不等式的解集為（1，+∞）．
當(dāng)a＞0時，解集為(1，

a+1

a

)
當(dāng)a＜0時，解集為(-∞，

a+1

a

)∪(1，+∞)．