Question

11．設數列{a_n}、{b_n}滿足a₁=b₁=8，a₂=b₂=6，a₃=b₃=5，且{a_n+1-a_n}是等差數列，{b_n+1-b_n}是等比數列．
（1）分別求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}中的最小項及最小項的值．

Answer 1

分析 （1）a₂-a₁=6-8=-2，a₃-a₂=-1，利用等差數列的通項公式可得：a_n+1-a_n．再利用“累加求和”方法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁．b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，利用等比數列的通項公式可得b_n+1-b_n．利用“累加求和”方法可得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁．
（2）由（1）可知：a_n=$\frac{1}{2}（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{39}{8}$．利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）a₂-a₁=6-8=-2，a₃-a₂=-1，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=1．
{a_n+1-a_n}是等差數列，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）=n-3．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-4）+（n-5）+…+（-2）+8=$\frac{（n-1）（n-4-2）}{2}$+8=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{7}{2}$n+11．
b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，$\frac{_{3}-_{2}}{_{2}-_{1}}$=$\frac{1}{2}$，{b_n+1-b_n}是等比數列．
∴b_n+1-b_n=-2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=-$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$-[（\frac{1}{2}）^{n-3}$+$（\frac{1}{2}）^{n-4}$+…+$（\frac{1}{2}）^{-1}]$+8=-$\frac{2[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$+8=2^3-n+4．
（2）由（1）可知：a_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{7}{2}$n+11=$\frac{1}{2}（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{39}{8}$．
∴當n=3或4時，a_n取得最小值5．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、二次函數的單調性、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．