Question

1．已知函數(shù)f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin²$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），則下列說法不正確的是（　�。�

• A． 直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸
• B． 函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
• C． 函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos2x的圖象
• D． 函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

Answer 1

分析 化簡f（x）為一個三角函數(shù)，檢驗四個選項，只有C選項是錯誤的．

解答 解：∵f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin²$\frac{φ}{2}$
=cos2xcosφ-sin2xsinφ
=cos（2x+φ），
∵圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），
∴f（$\frac{π}{6}$）=0，又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）
A選項中對稱軸需滿足2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z），
∴當k=1時，對稱軸為x=$\frac{5π}{12}$，故A選項正確．
B選項中在[0，$\frac{π}{6}$]上時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
余弦函數(shù)y=cosx在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞減的．故B選項正確．
C選項中f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
故C選項錯誤．
D選擇中在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
余弦函數(shù)y=cosx在[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]上最小值是-1．故D選項正確．
故選：C

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡，以及三角函數(shù)的平移，對稱軸，單調(diào)性和最值．