【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增等價于在區(qū)間上恒成立，可得，函數(shù)在區(qū)間單調遞減等價于在區(qū)間上恒成立，可得，綜合兩種情況可得結果；（2），由，知在區(qū)間內恰有一個零點，設該零點為，則在區(qū)間內不單調，所以在區(qū)間內存在零點，同理， 在區(qū)間內存在零點，所以只需在區(qū)間內恰有兩個零點即可，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合函數(shù)單調性討論的零點，從而可得結果．

試題解析：（1），

當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增時， 在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得；

當函數(shù)在區(qū)間單調遞減時， 在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．

（2）．

由，知在區(qū)間內恰有一個零點，

設該零點為，則在區(qū)間內不單調，

所以在區(qū)間內存在零點，

同理， 在區(qū)間內存在零點，

所以在區(qū)間內恰有兩個零點．

由（1）知，當時， 在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意．

當時， 在區(qū)間上單調遞減，

故在內至多有一個零點，不合題意；

所以．

令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．

記的兩個零點為， （），

因此， ，必有， ．

由，得，

所以，

又， ，

所以．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．

練習冊系列答案
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【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓的頂點， 為橢圓的左焦點且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右頂點作斜率為的直線交橢圓于另一點，連結并延長交橢圓于點，當的面積取得最大值時，求的面積.

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【題目】甲、乙兩名同學準備參加考試，在正式考試之前進行了十次模擬測試，測試成績如下：

甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133

乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

（1）畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖，求出甲同學成績的平均數(shù)和方差，并根據(jù)莖葉圖，寫出甲、乙兩位同學平均成績以及兩位同學成績的中位數(shù)的大小關系的結論；

（2）規(guī)定成績超過127為“良好”，現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績中各隨機選出一個，求選出成績“良好”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

(注：方差，其中為的平均數(shù)）

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【題目】已知直線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），曲線的極坐標方程為.

(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀；

(2)若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長.

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【題目】如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都等于2，D在AC1上，F為BB1的中點，且FD⊥AC1，有下述結論：

①AC1⊥BC；

②＝1；

③平面FAC1⊥平面ACC1A1；

④三棱錐D－ACF的體積為.

其中正確結論的個數(shù)為(　　)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

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【題目】設f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且

f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達式.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】函數(shù)圖象上不同兩點， 處切線的斜率分別是， ，規(guī)定（為線段的長度）叫做曲線在點與之間的“彎曲度”，給出以下命題：

①函數(shù)圖象上兩點與的橫坐標分別為1和2，則；

②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；

③設點， 是拋物線上不同的兩點，則；

④設曲線（是自然對數(shù)的底數(shù)）上不同兩點， ，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．

其中真命題的序號為__________．（將所有真命題的序號都填上）

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【題目】已知函數(shù) ，且 .

（Ⅰ）設 ，求的單調區(qū)間及極值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.

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