Question

如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分別是BC，AP的中點．
（1）求異面直線AC與ED所成的角的大��；
（2）求△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體的體積．

Answer 1

解（1）解法一：取AB中點F，連接DF，EF，則AC∥DF，
所以∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．
由已知，，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，，．
所以異面直線AC與ED所成的角為（．
解法二：建立空間直角坐標系，，E（0，0，1），
PCDE，
所以異面直線AC與ED所成的角為．
（2）△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AD
為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面
半徑、AE為高的小圓錐，體積．
分析：（1）解法一：欲求異面直線所成角，只需平移異面直線中的一條，是它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角，再放入三角形中，通過解三角形求出該角．本題中取AB中點F，連接DF，EF，則AC∥DF，∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．再放入Rt△EFD中來求．
解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標系，把異面直線AC與ED所成的角轉化為向量，的夾角，再利用向量的夾角公式計算即可．
（2）△PDE繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體，是以AD為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個以AD為底面半徑、AE為高的小圓錐，所以只需求出兩個圓錐的體積，再相減即可．
點評：本題主要考查了異面直線所成角的求法，以及組合體體積的求法．