Question

對于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．例如{-1，1，2}具有性質(zhì)P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當x_n＞1時，x₁=1；
（3）若X具有性質(zhì)P，且x₁=1、x₂=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x₁，x₂，…，x_n的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Y中取=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標公式，可得Y中與垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，結合x＞2，可得x的值．
（2）取=（x₁，x₁），=（s，t）根據(jù)，化簡可得s+t=0，所以s、t異號．而-1是數(shù)集X中唯一的負數(shù)，所以s、t中的負數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當x_n＞1時，x₁=1．
（3）[解法一]先猜想結論：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學歸納法，可證明出x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]設=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），則等價于，得到一正一負的特征，再記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當且僅當數(shù)集B關于原點對稱．又注意到-1是集合X中唯一的負數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個數(shù)，所以B∩（0．+∞）也有n-1個數(shù)．最后結合不等式的性質(zhì)，結合三角形數(shù)陣加以說明，可得==…=，最終得到數(shù)列的通項公式是x_k=x₁•（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．
解答：解：（1）選取=（x，2），則Y中與垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．
（2）取=（x₁，x₁）∈Y，設=（s，t）∈Y，滿足，可得（s+t）x₁=0，s+t=0，所以s、t異號．
因為-1是數(shù)集X中唯一的負數(shù)，所以s、t中的負數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，所以1∈X，
假設x_k=1，其中1＜k＜n，則0＜x₁＜1＜x_n．
再取=（x₁，x_n）∈Y，設=（s，t）∈Y，滿足，可得sx₁+tx_n=0，
所以s、t異號，其中一個為-1
①若s=-1，則x₁=tx_n＞t≥x₁，矛盾；
②若t=-1，則x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
說明假設不成立，由此可得當x_n＞1時，x₁=1．
（3）[解法一]猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．
任取=（s，t），s、t∈A_k，當s、t中出現(xiàn)-1時，顯然有滿足
當s、t中都不是-1時，滿足s≥1且t≥1．
因為A_k+1具有性質(zhì)P，所以有=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得，從而s₁、t₁其中有一個為-1
不妨設s₁=-1，
假設t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，則t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，與s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，從而A_k也具有性質(zhì)P．
再用數(shù)學歸納法，證明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
當n=2時，結論顯然成立；
假設當n=k時，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，則x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
當n=k+1時，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性質(zhì)P，則A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取=（x_k+1，q），并設=（s，t）∈Y，滿足，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，則x_k+1=，不可能
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
綜上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
[解法二]設=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），則等價于
記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當且僅當數(shù)集B關于原點對稱
注意到-1是集合X中唯一的負數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個數(shù)．
所以B∩（0，+∞）也有n-1個數(shù)．
由于＜＜＜…＜，已經(jīng)有n-1個數(shù)
對以下三角形數(shù)陣：＜＜＜…＜，
                  ＜＜＜…＜
                 …
                 
注意到＞＞＞…＞，所以==…=
從而數(shù)列的通項公式是x_k=x₁•（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．
點評：本題以向量的數(shù)量積的坐標運算為載體，著重考查了數(shù)列的通項公式的探索、集合元素的性質(zhì)和數(shù)列與向量的綜合等知識點，屬于難題．本題是一道綜合題，請同學們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運用．