Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•log₂a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，當(dāng)n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此可知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{a_n•log₂a_n}的通項(xiàng)，由于該數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
則T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．